Bahas Soal Matematika   »   Pertidaksamaan Matematika   ›  

Tentukan himpunan penyelesaian (HP) pertidaksamaan trigonometri \( 2 \sin x \leq 1 \) untuk interval \( 0 \leq x \leq 360^\circ \).

Pembahasan:

Untuk menyelesaikan soal pertidaksamaan trigonometri ini kita tentukan akar-akar persamaannya terlebih dahulu. Kita abaikan dulu tanda pertidaksamaan untuk mencari akar-akarnya, yakni:

Nilai \(x\) yang memenuhi persamaan trigonometri di atas adalah \( \{ -210^\circ,30^\circ, 150^\circ, 390^\circ \} \). Nilai \(x\) yang diambil adalah yang mendekati interval sesuai syarat yakni \( 0 \leq x \leq 360^\circ \).

Kita buat dulu garis bilangan dan menentukan tandanya berikut ini:

Perhatikan bahwa untuk menentukan tanda (+/-) pada garis bilangan di atas, kita pilih sembarang nilai \(x\) pada masing-masing bagian interval, kemudian substitusikan ke persamaan \( 2 \sin x \leq 1 \) atau \( 2 \sin x-1 \leq 0 \). Jika hasilnya lebih besar dari nol, maka beri tanda positif dan jika hasilnya lebih kecil dari nol, maka beri tanda negatif.

Sebagai contoh, pada interval \( -210 \leq x \leq 30 \), pilih sembarang \(x\) di antara interval itu, misalnya \(x=0\) kemudian substitusikan ke \( 2 \sin x-1 \leq 0 \), yakni:

\begin{aligned} 2 \sin x - 1 &\leq 0 \\[8pt] 2 \sin 0-1 &\leq 0 \\[8pt] 2 \cdot 0 - 1 &\leq 0 \\[8pt] -1 &\leq 0 \\[8pt] \end{aligned}

Karena hasil yang diperoleh bernilai negatif, maka beri tanda (-) pada interval tersebut.

Dari garis bilangan yang diperoleh di atas, nilai \(x\) yang memenuhi syarat dan mendekati interval yang diminta adalah \( 0 \leq x \leq 30^\circ \) atau \( 150^\circ \leq x \leq 360^\circ \).

Dengan demikian, himpunan penyelesaian (HP) pertidaksamaan trigonometri \( 2 \sin x \leq 1 \) untuk interval \( 0 \leq x \leq 360^\circ \) adalah \(0 \leq x \leq 30^\circ \) atau \( 150^\circ \leq x \leq 360^\circ \).